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第6章 树型结构

目录

一、树的基本概念

• 树：由 (n(n \geq 0)) 个结点构成的有限集合
• 根：有且仅有一个特定的结点
• 结点的度：结点拥有的子女数
• 树的度：所有结点度的最大值
• 度为 (0) 的结点：终端结点（叶子结点）
• 度不为 (0) 的结点：非终端结点（分支结点）
• 树枝：连接两个结点的线段
• 结点的层次：根结点为第 (1) 层，根的子女结点为第 (2) 层
• 树的高度：树中结点最大层次树
• 有序树：任意结点的子树看成是从左到右有次序，不能随意交换，否则为无序树
• 森林：(m(m \geq 0)) 棵互不相交的树构成的集合（在森林的每棵树之上加一个共同的根，森林则成了一棵树）

二、树类的定义

-略

三、树的存储结构 （大概率不考）

• 树的三种常用存储结构：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法

3.1 双亲表示法

• 树的结点包含两个信息：结点的值 (data) 和体现结点之间相互关系的属性——该结点的双亲 (parent)

3.1.1 树的存储结构（双亲表示法）

#define MAXSIZE 100 // 树中结点个数的最大值
typedef char datatype;   // 结点值的类型
// 结点的类型
typedef struct node {
    datatype data;
    int parent; // 结点双亲的下标
} node;
// 树的类型
typedef struct tree {
    node treelist[MAXSIZE]; // 存放结点的数组
    int length, root; // 树中实际所含结点的个数及根节点的位置
} tree;

四、树的遍历

• 前序遍历：首先访问根结点，再从左到右依次按前序遍历的方式访问根结点的每一棵子树
• 后序遍历：首先按后序遍历的方式访问根结点的每一棵子树，然后再访问根结点
• 层序遍历：首先访问第一层上的根结点，然后从左到右依次访问第二层上的所有结点，……，最后访问树中最低一层的所有结点
• 树的遍历常用操作：
  • 树的前序遍历的递归算法
  • 树的后序遍历的递归算法
  • 按前序遍历顺序建立一颗 (3) 度树
  • 树的层次遍历算法

五、树的线性表示（大纲未规定）

• 注：仅凭借树的某种遍历序列有时无法唯一地确定一棵树，但只要在遍历序列的基础上加上一些附加信息，即可唯一地确定一棵树

5.1 树的括号表示

• 常用操作：
  • 树的括号表示到树的孩子表示的转换算法
• 树的括号表示：

5.2 树的层号表示

• 常用操作：
  • 树的层号表示到树的扩充孩子表示的转换算法
• 树的层号表示：

六、算法设计题

-略

七、错题集

• 树中结点总数 (n = n_0 + n_1 + n_2 + \dots + n_m)
• 树中结点的度数之和为 (n-1)，且有：(n-1 = n_1 + 2n_2 + 3n_3 + \dots + m n_m) （用上题 (3) 的定理）
• 所以叶子结点个数为：(n_0 = 1 + n_2 + 2n_3 + \dots + (m-1)n_m)

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